Aide Scolaire : [Exercice] Suite Mathématique

salut !!

au secours je me noie! non je rigole; je suis bloquer avec un exo de maths;

et donc je suis venu chercher de l'aide chez les matheu de kiweo.

tout d'abord un theoreme:  "je noterai S les sommation"

{ soit les suites (Un) et (Vn); si Un et Vn sont absolument convergentes

alors la serie produit de ces deux suites est convergente et on a:

+infini                                 +infini       +infini

S Wn             =                  ( S Un)     (S Vn)

 n=0                                     n=0            n=0

}

soit  |a|<1     montrer que :

+infini

S(n+1)a^n = 1/(1 - a)²

n=0

/*le theoreme n'etait pas obligatoire à utiliser sur cette question mais on sait jamais.*/

mes vives remerciment en avance pour ceux qui me lirons.

Coucou !

Pour la démarche, il faut d'abord reconnaître dans le (n+1) a^n le terme dérivé (par rapport à a) de...
Ensuite exprimer la somme des termes intégrés comme une fonction simple et vérifier que la dérivée de ce qu'on obtient correspond au résultat annoncé.

Pour la rédaction, on part d'abord du développement en série entière de 1/(1-a), qui converge (normalement, donc uniformément)(pourquoi ?).
On justifie la dérivation terme à terme et on obtient l'identité demandée. Attention à bien faire attention aux bornes de la somme lors des dérivations (on ne doit pas avoir, si on part de n=0, de (n-1) qui se balade. En particulier on perd bien le terme d'ordre nul en dérivant.)

coucou tous le monde

je suis peut etre completement à l ouest. à fin j'y comprends pas trop

pourquoi on insert ces derivés.

moi je pensais un raisonnement genre :

Sn= (la serie de TG a^n) ; comme ca sa somme sera    1/ (1-a) + (a^(n+1))/1-a

comme ca la limite de Sn sera seulement 1/(1-a)

mais ce qui me poser vraiment probléme c est le carre. qui jusqu'alors je vois pas comment le faire

apparaitre?! un grand merci pour toi ZITOUNE.

mais j'aimerai bien plus d'explication ou carrement une piste.

can you help me in this exercise please. thank you !!

Je ne vois pas d'autre méthode (abordable s'entend) que celle que j'ai donnée là.

Tu écris bien ton 1/(1-a) = Sum (n=0, +infty, a^n) qui est un développement en série entière classique (ta "démonstration" est tout à fait valable du reste, modulo une toute petite erreur de signe sur le terme qui tend vers 0), convergeant uniformément (car normalement) en tout point du disque ouvert de convergence de rayon 1.

Quand tu dérives 1/(1-a), tu trouves...
Il reste alors à justifier que la dérivée de la somme, que tu viens d'écrire, est bien la somme des dérivées, et on utilise la convergence normale.

Tu peux aussi utiliser un produit de convolution 1/(1-a)² = (Sum a_n z^n) (Sum b_n z^n) = Sum c_n z^n, avec c_n = Sum (k=0, n, a_k * b_n-k) mais ça marche nettement moins bien en général (heureusement qu'on est sur des séries -très- simples). En l'occurrence ici, il faut admettre que ça vient tout seul